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Phrases autoréférentes et phrases paradoxales
sont les deux aspects du même jeu sur le langage (...) On définit
ainsi une phrase autoréférente comme une phrase qui se décrit
elle-même, tandis qu'une phrase paradoxale est une phrase qui se
contredit." (Michel Criton, Les jeux
mathématiques, PUF, 1997)
Exemple de phrase se décrivant elle-même : "cette
phrase s'écrit avec trente-huit lettres".
Paradoxe de Berry
Quel est "le plus petit nombre indéfinissable
avec moins de douze mots français" ?
Cette phrase se contredit puisqu'elle donne une
définition en onze mots d'un mot soi-disant indéfinissable en moins de
douze.
Paradoxe de Jules Richard
"La langue française exprime chaque
nombre entier à l'aide d'un certain nombre de mots. Ainsi, "vingt et
un" comprend trois mots, et "deux mille cinq cent
trente-trois", six mots. A partir d'un nombre donné de mots,
certains entiers peuvent être exprimés (...). Il s'ensuit que, parmi les
entiers dont le nom contient quinze mots, se trouve un plus petit nombre
entier. c'est-à-dire qu'il existe nécessairement un nombre entier
répondant à la définition suivante : "le plus petit nombre
entier ne pouvant être exprimé en moins de quinze mots".
Il semble que ce nombre soit 1 297 297 (un
million deux cent quatre-vingt-dix-sept mille deux cent
quatre-vingt-dix-sept). Il existe bien sût d'autres nombres - comme 2 297
297 - ne pouvant pas être exprimés en moins de quinze mots, mais il n'en
existe qu'un seul qui soit le plus petit d'entre eux.
Mais allons plus loin. L'expression
"le plus petit nombre entier ne pouvant être exprimé en moins
de quinze mots" est elle-même une dénomination non ambiguë du
nombre en question et comporte quatorze mots !" (Bruno Jarrosson, Invitation
à la philosophie des sciences, coll. Points/sciences, editions du
Seuil, janvier 1992)
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